📉 मानक विचलन कैलकुलेटर
संख्याएँ अल्पविराम, स्पेस या नई पंक्ति से अलग करके चिपकाएँ। हर मान का विचलन और उसका वर्ग अलग से दिखाया जाता है, ताकि आप पूरी गणना समझ सकें या उसे अपने गृहकार्य में उतार सकें।
संक्षिप्त उत्तर: समष्टि 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 का माध्य 5 है और विचलनों के वर्गों का योग 32 है, इसलिए प्रसरण 32 ÷ 8 = 4 और मानक विचलन √4 = 2 है।
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मानक विचलन कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
समष्टि मानक विचलन (σ)
2
- प्रसरण (σ²)
- 4
- माध्य
- 5
- मानों की संख्या
- 8
- वर्गों का योग
- 32
- विचरण गुणांक
- 40%
चरण-दर-चरण हल
- माध्य: 40 ÷ 8 = 5
- हर मान में से माध्य घटाएँ और नतीजे का वर्ग करें (नीचे तालिका देखें)
- वर्गों को जोड़ें: Σ(x − माध्य)² = 32
- N = 8 से भाग दें: प्रसरण = 32 ÷ 8 = 4
- वर्गमूल लें: σ = √4 = 2
माध्य (5) से विचलन
| # | x | x − माध्य | (x − माध्य)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −3 | 9 |
| 2 | 4 | −1 | 1 |
| 3 | 4 | −1 | 1 |
| 4 | 4 | −1 | 1 |
| 5 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 5 | 0 | 0 |
| 7 | 7 | 2 | 4 |
| 8 | 9 | 4 | 16 |
मानक विचलन क्या मापता है
मानक विचलन बताता है कि डेटा के मान अपने माध्य से औसतन कितनी दूर हैं। छोटा मान बताता है कि डेटा पास-पास है; बड़ा मान बताता है कि वह बिखरा हुआ है। लगभग घंटी के आकार वाले डेटा में क़रीब 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर और क़रीब 95% दो मानक विचलन के भीतर आते हैं।
सूत्र
σ = √( Σ(x − μ)² ÷ N ) · s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )
σ समष्टि मानक विचलन है और s प्रतिदर्श मानक विचलन। दोनों में अंतर केवल भाजक का है।
चरण-दर-चरण
- डेटा का माध्य निकालें।
- हर मान में से माध्य घटाकर उसका विचलन निकालें।
- हर विचलन का वर्ग करें, ताकि ऋणात्मक और धनात्मक विचलन एक-दूसरे को काट न दें।
- वर्गों को जोड़कर वर्गों का योग निकालें।
- N (समष्टि) या n − 1 (प्रतिदर्श) से भाग दें – यही प्रसरण है।
- वर्गमूल लेकर मानक विचलन पाएँ।
हल किया गया उदाहरण
डेटा: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (8 मानों की समष्टि)। माध्य 40 ÷ 8 = 5 है।
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 (×3) | −1 | हर एक का 1 |
| 5 (×2) | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
वर्गों का योग 32 है। समष्टि प्रसरण = 32 ÷ 8 = 4, इसलिए σ = 2। इसी डेटा को प्रतिदर्श मानें तो प्रसरण 32 ÷ 7 ≈ 4.571 और s ≈ 2.138 होगा।
ध्यान दें
- मानक विचलन हमेशा शून्य या धनात्मक होता है और उसकी इकाई वही होती है जो आपके डेटा की।
- यह असामान्य मानों (आउटलायर) से बहुत प्रभावित होता है – एक अकेला चरम मान इसे काफ़ी बढ़ा सकता है।
- संख्याएँ अल्पविराम, स्पेस या नई पंक्ति से अलग करें; हज़ार वाले विभाजक (जैसे 1,000 में अल्पविराम) न लगाएँ।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
प्रतिदर्श मानक विचलन लूँ या समष्टि मानक विचलन?
जब आपके डेटा में उस समूह का हर सदस्य शामिल हो जिसकी आपको परवाह है, जैसे एक कक्षा के सभी विद्यार्थी, तब समष्टि (N से भाग) लें। जब डेटा किसी बड़े समूह का अनुमान लगाने के लिए लिया गया एक हिस्सा हो, तब प्रतिदर्श (n − 1 से भाग) लें – शोध और सर्वेक्षणों में यही ज़्यादा आम है।
प्रतिदर्श वाले सूत्र में n − 1 से भाग क्यों देते हैं?
प्रतिदर्श के मान वास्तविक समष्टि माध्य की तुलना में अपने ही माध्य के ज़्यादा क़रीब होते हैं, इसलिए n से भाग देने पर फैलाव कम आँका जाता है। n − 1 से भाग देने (बेसेल संशोधन) से प्रसरण का यह पूर्वाग्रह दूर हो जाता है।
प्रसरण और मानक विचलन में क्या अंतर है?
प्रसरण माध्य से दूरी के वर्गों का औसत है; मानक विचलन उसका वर्गमूल है। मानक विचलन को समझना आसान है, क्योंकि उसकी इकाई वही होती है जो डेटा की।
कितना मानक विचलन ज़्यादा माना जाता है?
यह डेटा के पैमाने पर निर्भर करता है। विचरण गुणांक (मानक विचलन ÷ माध्य) से माध्य के साथ तुलना करें: लगभग 10% से कम हो तो डेटा पास-पास है, लगभग 30% से ज़्यादा हो तो काफ़ी बिखरा हुआ है।
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