📊 विश्वास अंतराल कैलकुलेटर
प्रतिदर्श का माध्य और मानक विचलन, या सफलताओं की संख्या डालें, और पाएँ विश्वास अंतराल, त्रुटि सीमा और उसके पीछे का क्रांतिक मान।
संक्षिप्त उत्तर: 50 माध्य, s = 8 और n = 25 वाले प्रतिदर्श के लिए 95% विश्वास अंतराल 50 ± 2.0639 × 8 ÷ √25 = 50 ± 3.3022 है, यानी 46.6978 से 53.3022 तक।
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विश्वास अंतराल कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
माध्य का 95% विश्वास अंतराल
46.6978 से 53.3022 तक
50 ± 3.3022
- त्रुटि सीमा
- ±3.3022
- क्रांतिक मान t* (स्व.को. = 24)
- 2.0639
- मानक त्रुटि
- 1.6
चरण-दर-चरण हल
- 95% विश्वास स्तर के लिए क्रांतिक मान: t* (स्व.को. = 24) = 2.0639
- मानक त्रुटि: s ÷ √n = 8 ÷ √25 = 1.6
- त्रुटि सीमा: 2.0639 × 1.6 = 3.302238
- अंतराल: 50 ± 3.3022 = 46.6978 से 53.3022 तक
हम 95% विश्वास के साथ कह सकते हैं कि समष्टि का वास्तविक माध्य 46.6978 और 53.3022 के बीच है।
यही आँकड़े दूसरे विश्वास स्तरों पर
| विश्वास स्तर | क्रांतिक मान | त्रुटि सीमा | अंतराल |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.3178 | ±2.1085 | 47.8915 से 52.1085 तक |
| 85% | 1.4871 | ±2.3794 | 47.6206 से 52.3794 तक |
| 90% | 1.7109 | ±2.7374 | 47.2626 से 52.7374 तक |
| 95% | 2.0639 | ±3.3022 | 46.6978 से 53.3022 तक |
| 98% | 2.4922 | ±3.9875 | 46.0125 से 53.9875 तक |
| 99% | 2.7969 | ±4.4751 | 45.5249 से 54.4751 तक |
| 99.9% | 3.7454 | ±5.9926 | 44.0074 से 55.9926 तक |
विश्वास अंतराल के सूत्र
माध्य: x̄ ± t* × s ÷ √n · x̄ ± z* × σ ÷ √n · अनुपात: p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)
± के बाद वाला हिस्सा त्रुटि सीमा है: क्रांतिक मान गुणा मानक त्रुटि।
हल किया हुआ उदाहरण
25 के एक प्रतिदर्श का माध्य 50 और मानक विचलन 8 है। समष्टि माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल निकालें।
- σ ज्ञात नहीं है, इसलिए 25 − 1 = 24 स्वातंत्र्य कोटि के साथ t लें: t* = 2.0639।
- मानक त्रुटि = 8 ÷ √25 = 1.6।
- त्रुटि सीमा = 2.0639 × 1.6 = 3.3022।
- अंतराल = 50 ± 3.3022 = 46.6978 से 53.3022 तक।
t की जगह z लेने पर (1.96 × 1.6 = 3.136) अंतराल थोड़ा संकरा होता – इसीलिए छोटे प्रतिदर्श में z लेने से आपकी सटीकता असल से ज़्यादा दिखती है।
क्रांतिक मान
| विश्वास स्तर | z* | t* (स्व.को. = 10) | t* (स्व.को. = 30) |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.2816 | 1.3722 | 1.3104 |
| 90% | 1.6449 | 1.8125 | 1.6973 |
| 95% | 1.9600 | 2.2281 | 2.0423 |
| 98% | 2.3263 | 2.7638 | 2.4573 |
| 99% | 2.5758 | 3.1693 | 2.7500 |
कैलकुलेटर कैसे इस्तेमाल करें
चुनें कि आप माध्य का अनुमान लगा रहे हैं या अनुपात का। माध्य के लिए प्रतिदर्श माध्य, मानक विचलन और प्रतिदर्श का आकार डालें; अनुपात के लिए सफलताओं की संख्या और प्रतिदर्श का आकार। विश्वास स्तर चुनें – अंतराल, त्रुटि सीमा और हल तुरंत दिख जाएँगे।
मान्यताएँ
- प्रतिदर्श यादृच्छिक है और प्रेक्षण एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं।
- माध्य के लिए: आँकड़े लगभग प्रसामान्य हैं, या केंद्रीय सीमा प्रमेय लागू होने लायक़ n बड़ा है (लगभग 30 या अधिक)।
- अनुपात के लिए: वाल्ड अंतराल को कम से कम लगभग 10 सफलताएँ और 10 असफलताएँ चाहिए; वरना विल्सन अंतराल पर भरोसा करें।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
z लें या t?
जब भी फैलाव का अनुमान प्रतिदर्श से ही लगाया जाए (जो आम स्थिति है), t लें – यह n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ अतिरिक्त अनिश्चितता के लिए अंतराल को थोड़ा चौड़ा कर देता है। z तभी लें जब समष्टि का मानक विचलन σ सच में ज्ञात हो। बड़े प्रतिदर्श में दोनों लगभग बराबर रहते हैं।
95% विश्वास अंतराल का मतलब क्या है?
अगर आप प्रतिदर्श लेना कई बार दोहराएँ और हर बार एक अंतराल बनाएँ, तो उनमें से लगभग 95% अंतरालों में समष्टि का वास्तविक मान होगा। इसका अर्थ यह नहीं है कि इसी एक अंतराल में वास्तविक मान होने की प्रायिकता 95% है।
अनुपात के लिए वाल्ड या विल्सन?
वाल्ड अंतराल p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) पाठ्यपुस्तकों का सूत्र है, लेकिन छोटे प्रतिदर्श या 0% या 100% के पास वाले अनुपातों में यह ठीक काम नहीं करता – यह 0 से नीचे तक जा सकता है। विल्सन स्कोर अंतराल की कवरेज कहीं बेहतर है और ऐसे मामलों में इसी की सलाह दी जाती है।
अंतराल को संकरा कैसे करें?
प्रतिदर्श का आकार बढ़ाएँ (त्रुटि सीमा √n के अनुपात में घटती है, इसलिए n को चार गुना करने पर वह आधी रह जाती है), कम विश्वास स्तर स्वीकार करें या मापों में विचलन कम करें।
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केवल औसत स्टार रेटिंग दिखाई जाती है। गलती की रिपोर्ट सीधे हमारे इनबॉक्स में आती है, ताकि हम उसे जाँचकर ठीक कर सकें। यह भी देखें: गणना पद्धति और गोपनीयता नीति.