📐 द्विघात समीकरण सॉल्वर
गुणांक a, b और c लिखें। विविक्तकर पहले ही बता देता है कि मूल कैसे होंगे, और हल में दिखता है कि द्विघाती सूत्र से उत्तर तक कैसे पहुँचते हैं।
संक्षिप्त उत्तर: x² − 3x + 2 = 0 का विविक्तकर (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1 है, इसलिए द्विघाती सूत्र से x = (3 ± 1) ÷ 2: मूल x = 2 और x = 1 हैं, और शीर्ष (1.5, −0.25) है।
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द्विघात समीकरण सॉल्वर के इनपुट
परिणाम
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2, x₂ = 1
दो भिन्न वास्तविक मूल (विविक्तकर > 0)
- विविक्तकर (b² − 4a c)
- 1
- शीर्ष
- (1.5, −0.25)
- सममिति अक्ष
- x = 1.5
| परवलय का मुख | ऊपर की ओर (शीर्ष पर न्यूनतम) |
| y-अंतःखंड | (0, 2) |
| मूलों का योग (−b/a) | 3 |
| मूलों का गुणनफल (c/a) | 2 |
चरण-दर-चरण हल
- गुणांक पहचानें: a = 1, b = −3, c = 2
- विविक्तकर: D = b² − 4a c = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- द्विघाती सूत्र: x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- मूल: x₁ = 2, x₂ = 1
- शीर्ष: x = −b ÷ 2a = 1.5, y = c − b² ÷ 4a = −0.25
द्विघाती सूत्र
a x² + b x + c = 0 (जहाँ a ≠ 0) के रूप वाला कोई भी समीकरण एक ही सूत्र से हल हो जाता है, जिसे श्रीधराचार्य सूत्र भी कहते हैं:
x = ( −b ± √(b² − 4a c) ) ÷ 2a
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक D = b² − 4a c विविक्तकर कहलाता है। हिसाब पूरा करने से पहले ही यह बता देता है कि हल किस तरह के होंगे।
| विविक्तकर | मूल | ग्राफ़ |
|---|---|---|
| D > 0 | दो भिन्न वास्तविक मूल | x-अक्ष को दो बार काटता है |
| D = 0 | एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल | शीर्ष पर x-अक्ष को छूता है |
| D < 0 | दो संयुग्मी सम्मिश्र मूल | x-अक्ष से कभी नहीं मिलता |
हल किया हुआ उदाहरण
x² − 3x + 2 = 0 हल करें। यहाँ a = 1, b = −3 और c = 2 है।
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1।
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2।
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 और x₂ = 2 ÷ 2 = 1।
गुणनखंड से जाँचें: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)। शीर्ष दोनों मूलों के ठीक बीच x = 1.5 पर है, जहाँ y = −0.25।
शीर्ष और सममिति
परवलय y = a x² + b x + c बिंदु x = −b ÷ 2a पर मुड़ता है। इसे वापस समीकरण में रखने पर y-निर्देशांक c − b² ÷ 4a मिलता है। मूलों का योग हमेशा −b/a और गुणनफल c/a होता है – अपने उत्तर जाँचने का यह आसान तरीका है।
सुझाव
- a, b और c पढ़ने से पहले समीकरण को ऐसे लिखें कि एक तरफ़ शून्य हो।
- चिह्नों पर ध्यान दें: समीकरण में "− 5x" हो, तो b = −5 है।
- संख्याएँ छोटी हों तो पहले गुणनखंड आज़माएँ; बड़ी हों तो सूत्र लगाएँ।
- सॉल्वर सूत्र का संख्यात्मक रूप से स्थिर रूप इस्तेमाल करता है, इसलिए b² के 4a c से बहुत बड़ा होने पर भी उत्तर सटीक रहता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
विविक्तकर से क्या पता चलता है?
विविक्तकर D = b² − 4a c मूलों का प्रकार तय करता है। D > 0 हो तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, D = 0 हो तो एक दोहराया हुआ (बराबर) वास्तविक मूल, और D < 0 हो तो दो संयुग्मी सम्मिश्र मूल होते हैं – तब परवलय x-अक्ष को कहीं नहीं काटता।
2x² = 8 जैसा समीकरण कैसे लिखें?
पहले सारे पद एक तरफ़ ले जाएँ ताकि समीकरण 2x² − 8 = 0 बन जाए। अब a = 2, b = 0 और c = −8 है, और मूल x = 2 व x = −2 हैं।
सम्मिश्र मूल क्या होते हैं?
विविक्तकर ऋणात्मक हो, तो D का वर्गमूल काल्पनिक होता है। तब मूल p ± q i के रूप में होते हैं, जहाँ i = √−1। x² + 2x + 5 = 0 के मूल −1 + 2i और −1 − 2i हैं।
परवलय का शीर्ष क्या होता है?
यह y = a x² + b x + c का मोड़ बिंदु है, जो x = −b / 2a पर होता है। a > 0 हो तो यह न्यूनतम बिंदु है और a < 0 हो तो अधिकतम; ग्राफ़ इससे होकर जाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के सापेक्ष सममित होता है।
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