📊 حاسبة فترة الثقة
أدخل متوسط العينة وانحرافها المعياري، أو عدد النجاحات، لتحصل على فترة الثقة وهامش الخطأ والقيمة الحرجة التي بُنيت عليها.
إجابة سريعة: لعينة متوسطها 50 وانحرافها المعياري s = 8 وحجمها n = 25، تكون فترة الثقة 95% هي 50 ± 2.0639 × 8 ÷ √25 = 50 ± 3.3022، أي من 46.6978 إلى 53.3022.
لم يُقيَّم بعد · آخر تحديث · مجانًا · دون تسجيل
مدخلات حاسبة فترة الثقة
النتيجة
فترة الثقة 95% للمتوسط
من 46.6978 إلى 53.3022
50 ± 3.3022
- هامش الخطأ
- ±3.3022
- القيمة الحرجة t* (د.ح = 24)
- 2.0639
- الخطأ المعياري
- 1.6
الحل خطوة بخطوة
- القيمة الحرجة عند مستوى ثقة 95%: t* (د.ح = 24) = 2.0639
- الخطأ المعياري: s ÷ √n = 8 ÷ √25 = 1.6
- هامش الخطأ: 2.0639 × 1.6 = 3.302238
- الفترة: 50 ± 3.3022 = من 46.6978 إلى 53.3022
نحن واثقون بنسبة 95% من أن المتوسط الحقيقي للمجتمع يقع بين 46.6978 و53.3022.
البيانات نفسها بمستويات ثقة أخرى
| مستوى الثقة | القيمة الحرجة | هامش الخطأ | الفترة |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.3178 | ±2.1085 | من 47.8915 إلى 52.1085 |
| 85% | 1.4871 | ±2.3794 | من 47.6206 إلى 52.3794 |
| 90% | 1.7109 | ±2.7374 | من 47.2626 إلى 52.7374 |
| 95% | 2.0639 | ±3.3022 | من 46.6978 إلى 53.3022 |
| 98% | 2.4922 | ±3.9875 | من 46.0125 إلى 53.9875 |
| 99% | 2.7969 | ±4.4751 | من 45.5249 إلى 54.4751 |
| 99.9% | 3.7454 | ±5.9926 | من 44.0074 إلى 55.9926 |
قوانين فترة الثقة
المتوسط: x̄ ± t* × s ÷ √n · x̄ ± z* × σ ÷ √n · النسبة: p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)
الجزء الذي يلي ± هو هامش الخطأ: القيمة الحرجة مضروبة في الخطأ المعياري.
مثال محلول
عينة حجمها 25 متوسطها 50 وانحرافها المعياري 8. أوجد فترة الثقة 95% لمتوسط المجتمع.
- σ غير معروف، فنستخدم t بدرجات حرية 25 − 1 = 24: t* = 2.0639.
- الخطأ المعياري = 8 ÷ √25 = 1.6.
- هامش الخطأ = 2.0639 × 1.6 = 3.3022.
- الفترة = 50 ± 3.3022 = من 46.6978 إلى 53.3022.
ولو استخدمنا z بدلًا من t (1.96 × 1.6 = 3.136) لكانت الفترة أضيق قليلًا، ولهذا فاستخدام z مع عينة صغيرة يبالغ في تقدير دقة النتيجة.
القيم الحرجة
| مستوى الثقة | z* | t* (د.ح = 10) | t* (د.ح = 30) |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.2816 | 1.3722 | 1.3104 |
| 90% | 1.6449 | 1.8125 | 1.6973 |
| 95% | 1.9600 | 2.2281 | 2.0423 |
| 98% | 2.3263 | 2.7638 | 2.4573 |
| 99% | 2.5758 | 3.1693 | 2.7500 |
د.ح = درجات الحرية.
كيف تستخدم الحاسبة
اختر ما إذا كنت تقدّر متوسطًا أم نسبة. للمتوسط أدخل متوسط العينة والانحراف المعياري وحجم العينة، وللنسبة أدخل عدد النجاحات وحجم العينة. ثم اختر مستوى الثقة، فتظهر الفترة وهامش الخطأ وخطوات الحل فورًا.
الافتراضات
- العينة عشوائية والمشاهدات مستقلة.
- للمتوسط: البيانات قريبة من التوزيع الطبيعي، أو n كبير بما يكفي (نحو 30 فأكثر) لتطبيق نظرية النهاية المركزية.
- للنسبة: تحتاج فترة والد إلى 10 نجاحات و10 إخفاقات على الأقل تقريبًا، وإلا فاعتمد على فترة ويلسون.
الأسئلة الشائعة
هل أستخدم توزيع z أم t؟
استخدم t كلما قدّرت التشتت من العينة نفسها (وهي الحالة المعتادة)، فهو يوسّع الفترة ليستوعب عدم اليقين الإضافي، بدرجات حرية n − 1. ولا تستخدم z إلا إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع σ معروفًا فعلًا. وفي العينات الكبيرة تكاد النتيجتان تتطابقان.
ماذا تعني فترة الثقة 95%؟
لو كررت سحب العينة مرات كثيرة وبنيت فترة في كل مرة، لاحتوت نحو 95% من تلك الفترات على القيمة الحقيقية للمجتمع. ولا يعني ذلك أن احتمال احتواء هذه الفترة بعينها على القيمة الحقيقية 95%.
طريقة والد أم ويلسون لحساب فترة الثقة للنسبة؟
فترة والد p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) هي الصيغة الشائعة في الكتب، لكن أداءها ضعيف في العينات الصغيرة أو حين تقترب النسبة من 0% أو 100%، وقد تنزل حتى تحت الصفر. أما فترة ويلسون فتغطيتها أفضل بكثير، ويُنصح بها في هذه الحالات.
كيف أجعل فترة الثقة أضيق؟
زِد حجم العينة (يتناقص الهامش بمعدل √n، فمضاعفة n أربع مرات تُنصّفه)، أو اقبل مستوى ثقة أقل، أو قلّل التباين في القياسات.
قيّم حاسبة فترة الثقة
لا نعرض سوى متوسط التقييم. تصل بلاغات الأخطاء مباشرةً إلى بريدنا لنتحقق منها ونصححها. اطّلع على المنهجية و سياسة الخصوصية.