📐 دو درجی مساوات حل کرنے والا کیلکولیٹر
سر a، b اور c درج کریں۔ ممیز بتاتا ہے کہ جذر کس قسم کے ہوں گے، اور حل دکھاتا ہے کہ دو درجی کلیہ جواب تک کیسے پہنچتا ہے۔
مختصر جواب: x² − 3x + 2 = 0 کا ممیز (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1 ہے، اس لیے دو درجی کلیے سے x = (3 ± 1) ÷ 2 بنتا ہے: جذر x = 2 اور x = 1 ہیں، اور راس (1.5، −0.25) ہے۔
ابھی تک کوئی ریٹنگ نہیں · آخری اپ ڈیٹ · مفت · سائن اپ کی ضرورت نہیں
دو درجی مساوات حل کرنے والا کیلکولیٹر کے اندراجات
نتیجہ
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2، x₂ = 1
دو مختلف حقیقی جذر (ممیز > 0)
- ممیز (b² − 4a c)
- 1
- راس
- (1.5، −0.25)
- محورِ تشاکل
- x = 1.5
| قطع مکافی کا رخ | اوپر کی طرف (راس پر کم از کم قیمت) |
| y-محور پر قطع | (0، 2) |
| جذروں کا مجموعہ (−b/a) | 3 |
| جذروں کا حاصل ضرب (c/a) | 2 |
مرحلہ وار حل
- سر معلوم کریں: a = 1، b = −3، c = 2
- ممیز: D = b² − 4a c = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- دو درجی کلیہ: x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- جذر: x₁ = 2، x₂ = 1
- راس: x = −b ÷ 2a = 1.5، y = c − b² ÷ 4a = −0.25
دو درجی کلیہ
a x² + b x + c = 0 کی صورت والی ہر مساوات، جس میں a ≠ 0 ہو، ایک ہی کلیے سے حل ہو سکتی ہے:
x = ( −b ± √(b² − 4a c) ) ÷ 2a
جذرِ المربع کے نیچے والی رقم D = b² − 4a c ممیز کہلاتی ہے۔ یہ حساب مکمل کرنے سے پہلے ہی بتا دیتی ہے کہ حل کس قسم کے ہوں گے۔
| ممیز | جذر | گراف |
|---|---|---|
| D > 0 | دو مختلف حقیقی جذر | x-محور کو دو بار کاٹتا ہے |
| D = 0 | ایک مکرر حقیقی جذر | راس پر x-محور کو چھوتا ہے |
| D < 0 | دو مزدوج مختلط جذر | x-محور سے کبھی نہیں ملتا |
حل شدہ مثال
x² − 3x + 2 = 0 حل کریں۔ یہاں a = 1، b = −3 اور c = 2 ہیں۔
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1۔
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2۔
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 اور x₂ = 2 ÷ 2 = 1۔
تجزی سے پڑتال: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)۔ راس دونوں جذروں کے عین درمیان x = 1.5 پر ہے، جہاں y = −0.25۔
راس اور تشاکل
قطع مکافی y = a x² + b x + c نقطہ x = −b ÷ 2a پر مڑتا ہے۔ یہ قیمت واپس رکھنے سے y-محدد c − b² ÷ 4a ملتا ہے۔ جذروں کا مجموعہ ہمیشہ −b/a اور ان کا حاصل ضرب c/a کے برابر ہوتا ہے – جواب جانچنے کا ایک آسان طریقہ۔
مشورے
- a، b اور c پڑھنے سے پہلے مساوات کو اس طرح ترتیب دیں کہ ایک طرف صفر ہو۔
- علامتوں کا دھیان رکھیں: اگر مساوات میں “− 5x” ہے تو b = −5۔
- اعداد چھوٹے ہوں تو پہلے تجزی آزمائیں؛ ورنہ کلیہ استعمال کریں۔
- یہ کیلکولیٹر کلیے کی ایسی صورت استعمال کرتا ہے جو عددی طور پر مستحکم ہے، اس لیے b² کے 4a c سے بہت بڑا ہونے پر بھی جواب درست رہتا ہے۔
اکثر پوچھے جانے والے سوالات
ممیز سے کیا پتا چلتا ہے؟
ممیز D = b² − 4a c جذروں کی قسم طے کرتا ہے۔ اگر D > 0 ہو تو دو مختلف حقیقی جذر ہوتے ہیں، D = 0 ہو تو ایک مکرر حقیقی جذر، اور D < 0 ہو تو دو مزدوج مختلط جذر، اور قطع مکافی x-محور کو کبھی نہیں کاٹتا۔
2x² = 8 جیسی مساوات کیسے درج کریں؟
پہلے تمام اجزا ایک طرف لے آئیں تاکہ مساوات 2x² − 8 = 0 بن جائے۔ اب a = 2، b = 0 اور c = −8 ہیں، اور جذر x = 2 اور x = −2 ہیں۔
مختلط جذر کیا ہوتے ہیں؟
جب ممیز منفی ہو تو D کا جذرِ المربع خیالی ہوتا ہے۔ تب جذروں کی صورت p ± q i ہوتی ہے، جہاں i = √−1۔ x² + 2x + 5 = 0 کے جذر −1 + 2i اور −1 − 2i ہیں۔
قطع مکافی کا راس کیا ہے؟
یہ y = a x² + b x + c کا موڑ کا نقطہ ہے، جو x = −b / 2a پر واقع ہوتا ہے۔ a > 0 ہو تو یہ کم از کم قیمت اور a < 0 ہو تو زیادہ سے زیادہ قیمت ہوتا ہے، اور گراف اس سے گزرنے والی عمودی لکیر کے گرد متشاکل ہوتا ہے۔
دو درجی مساوات حل کرنے والا کیلکولیٹر کو ریٹنگ دیں
صرف اوسط ریٹنگ دکھائی جاتی ہے۔ غلطی کی رپورٹیں سیدھی ہمارے اِن باکس میں آتی ہیں تاکہ ہم انہیں جانچ کر درست کر سکیں۔ مزید دیکھیں: طریقۂ کار اور رازداری کی پالیسی۔