🔔 حاسبة الدرجة المعيارية (z)
لا حاجة إلى جدول z: تُحسب الدالة Φ(z) مباشرةً. انتقل من الدرجة الخام إلى z والمئين، أو من z إلى احتمالات الأطراف، أو من مئين مستهدف إلى الدرجة التي تحتاجها.
إجابة سريعة: درجة 85 بمتوسط 70 وانحراف معياري 10 تعطي z = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5، وهي تقع عند المئين 93.32: أي أن 93.32% من القيم أقل منها و6.68% أعلى منها.
لم يُقيَّم بعد · آخر تحديث · مجانًا · دون تسجيل
مدخلات حاسبة الدرجة المعيارية (z)
النتيجة
الدرجة المعيارية للقيمة 85
z = 1.5
1.5 انحراف معياري فوق المتوسط · المئين 93.32
- المئين
- 93.32
- P(Z < z) – الطرف الأيسر
- 0.933193
- P(Z > z) – الطرف الأيمن
- 0.066807
| ثنائي الطرف P(|Z| > |z|) | 0.133614 |
| P(−1.5 < Z < 1.5) | 0.866386 |
| P(0 < Z < |z|) | 0.433193 |
| نسبة القيم الأقل / الأعلى | 93.32% / 6.68% |
الحل خطوة بخطوة
- z = (x − μ) ÷ σ = (85 − 70) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1.5
- الطرف الأيسر: P(Z < 1.5) = Φ(1.5) = 0.933193 → المئين 93.32
- الطرف الأيمن: P(Z > 1.5) = 1 − 0.933193 = 0.066807
- ثنائي الطرف: 2 × P(Z > 1.5) = 0.133614
درجات معيارية شائعة
| z | المئين (الطرف الأيسر) | القيمة الاحتمالية ثنائية الطرف | النسبة ضمن ±z |
|---|---|---|---|
| 0 | 50% | 1 | 0% |
| 0.5 | 69.15% | 0.617075 | 38.29% |
| 1 | 84.13% | 0.317311 | 68.27% |
| 1.282 | 90% | 0.200001 | 80% |
| 1.5 | 93.32% | 0.133614 | 86.64% |
| 1.645 | 95% | 0.100001 | 90% |
| 1.96 | 97.5% | 0.05 | 95% |
| 2 | 97.72% | 0.0455 | 95.45% |
| 2.326 | 99% | 0.02 | 98% |
| 2.576 | 99.5% | 0.01 | 99% |
| 3 | 99.87% | 0.0027 | 99.73% |
قانون الدرجة المعيارية
تقيس الدرجة المعيارية (z) المسافة بين القيمة والمتوسط بوحدات الانحراف المعياري.
z = (x − μ) ÷ σ · x = μ + z·σ
حيث x هي القيمة، وμ المتوسط، وσ الانحراف المعياري. ويتيح التحويل إلى z مقارنة قيم من مقاييس مختلفة – كدرجة اختبار وطول قامة مثلًا – على مقياس واحد مشترك.
مثال محلول
اختبار متوسطه 70 وانحرافه المعياري 10، وحصلت فيه على 85.
- z = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5.
- المساحة إلى اليسار: Φ(1.5) = 0.9332، فأنت عند المئين 93.32.
- المساحة إلى اليمين: 1 − 0.9332 = 0.0668، أي أن 6.68% حصلوا على درجة أعلى.
وبالعكس: المئين 95 يقابل z = 1.6449، فتكون x = 70 + 1.6449 × 10 ≈ 86.45.
القاعدة التجريبية
| المدى | نسبة القيم |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27% |
| μ ± 1.96σ | 95% |
| μ ± 2σ | 95.45% |
| μ ± 3σ | 99.73% |
طريقة استخدام الحاسبة
اختر ما تريد حسابه. أدخل قيمة مع المتوسط والانحراف المعياري لتحصل على درجتها المعيارية ومئينها، أو أدخل مئينًا لتجد القيمة المقابلة له، أو أدخل الدرجة المعيارية مباشرةً لقراءة الاحتمالات.
أي احتمال تحتاج؟
- الطرف الأيسر P(Z < z): هو المئين، أي نسبة القيم الأقل.
- الطرف الأيمن P(Z > z): نسبة القيم الأعلى، وهي القيمة الاحتمالية لاختبار أحادي الطرف من نوع «أكبر من».
- ثنائي الطرف: احتمال الابتعاد عن المتوسط بهذا القدر على الأقل في أي من الاتجاهين، وهو القيمة الاحتمالية لاختبار z ثنائي الطرف.
تفترض هذه الاحتمالات أن البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا. أما في البيانات شديدة الالتواء فقد تكون المئينات المستخرجة من الدرجة المعيارية مضللة.
الأسئلة الشائعة
ماذا تخبرك الدرجة المعيارية؟
تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط. فـ z = 0 تعني قيمة مساوية للمتوسط تمامًا، وz = 1 تعني انحرافًا معياريًا واحدًا فوقه، وz = −2 انحرافين تحته. وفي التوزيع الطبيعي يكون نحو 68% من القيم ضمن |z| < 1، و95% ضمن |z| < 1.96، و99.7% ضمن |z| < 3.
كيف أحوّل الدرجة المعيارية إلى مئين؟
المئين هو المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري إلى يسار z، أي Φ(z)، مضروبة في 100. فـ z = 1.5 تعطي Φ(1.5) = 0.9332، أي المئين 93.32. وتحسب الحاسبة Φ بدقة، فلا تحتاج إلى جدول z.
هل يمكن أن تكون الدرجة المعيارية سالبة؟
نعم، فالدرجة المعيارية السالبة تعني أن القيمة أقل من المتوسط. فـ z = −1.5 تقع عند المئين 6.68، وهي الصورة المعكوسة لـ z = 1.5.
ما الدرجة المعيارية «الجيدة»؟
يتوقف ذلك على السياق. ففي الاختبارات تكون z فوق 1 (أعلى 16% تقريبًا) فوق المتوسط، وفوق 2 (أعلى 2.3% تقريبًا) استثنائية. وفي ضبط الجودة والإحصاء كثيرًا ما تُعدّ |z| فوق 1.96 أو 3 قيمة غير معتادة أو شاذة.
قيّم حاسبة الدرجة المعيارية (z)
لا نعرض سوى متوسط التقييم. تصل بلاغات الأخطاء مباشرةً إلى بريدنا لنتحقق منها ونصححها. اطّلع على المنهجية و سياسة الخصوصية.