📐 حل المعادلة التربيعية
أدخل المعاملات a وb وc. يخبرك المميِّز بنوع الجذور المتوقعة، وتبيّن خطوات الحل كيف يوصلك القانون العام إليها.
إجابة سريعة: في المعادلة x² − 3x + 2 = 0 يكون المميِّز (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1، فيعطي القانون العام x = (3 ± 1) ÷ 2: الجذران x = 2 وx = 1، ورأس القطع المكافئ (1.5، −0.25).
لم يُقيَّم بعد · آخر تحديث · مجانًا · دون تسجيل
مدخلات حل المعادلة التربيعية
النتيجة
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2, x₂ = 1
جذران حقيقيان مختلفان (المميِّز > 0)
- المميِّز (b² − 4a c)
- 1
- رأس القطع المكافئ
- (1.5, −0.25)
- محور التماثل
- x = 1.5
| اتجاه فتحة القطع المكافئ | إلى الأعلى (قيمة صغرى عند الرأس) |
| المقطع الصادي | (0, 2) |
| مجموع الجذرين (−b/a) | 3 |
| حاصل ضرب الجذرين (c/a) | 2 |
الحل خطوة بخطوة
- نحدد المعاملات: a = 1, b = −3, c = 2
- المميِّز: D = b² − 4a c = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- القانون العام: x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- الجذران: x₁ = 2, x₂ = 1
- الرأس: x = −b ÷ 2a = 1.5, y = c − b² ÷ 4a = −0.25
القانون العام
أي معادلة على الصورة a x² + b x + c = 0 حيث a ≠ 0 تُحل بقانون واحد:
x = ( −b ± √(b² − 4a c) ) ÷ 2a
المقدار الواقع تحت الجذر، D = b² − 4a c، هو المميِّز، ويخبرك بنوع الحلول المتوقعة قبل أن تُكمل الحساب.
| المميِّز | الجذور | المنحنى |
|---|---|---|
| D > 0 | جذران حقيقيان مختلفان | يقطع محور السينات مرتين |
| D = 0 | جذر حقيقي مكرر | يمسّ محور السينات عند الرأس |
| D < 0 | جذران مركّبان مترافقان | لا يلتقي محور السينات أبدًا |
مثال محلول
حُلّ المعادلة x² − 3x + 2 = 0. هنا a = 1 وb = −3 وc = 2.
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1.
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2.
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 وx₂ = 2 ÷ 2 = 1.
للتحقق بالتحليل إلى العوامل: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). ويقع الرأس في منتصف المسافة بين الجذرين عند x = 1.5، حيث y = −0.25.
الرأس والتماثل
ينعطف القطع المكافئ y = a x² + b x + c عند x = −b ÷ 2a، وبالتعويض نحصل على الإحداثي الصادي c − b² ÷ 4a. ومجموع الجذرين يساوي دائمًا −b/a وحاصل ضربهما c/a، وهي طريقة سريعة للتحقق من إجاباتك.
نصائح
- رتّب المعادلة بحيث يكون أحد طرفيها صفرًا قبل أن تحدد a وb وc.
- انتبه إلى الإشارات: إذا كان في المعادلة «− 5x» فإن b = −5.
- جرّب التحليل إلى العوامل أولًا حين تكون الأعداد صغيرة، واستخدم القانون العام حين لا تكون كذلك.
- تستخدم الأداة صيغة مستقرة عدديًا من القانون العام، فتبقى دقيقة حتى حين يكون b² أكبر بكثير من 4a c.
الأسئلة الشائعة
ماذا يخبرنا المميِّز؟
المميِّز D = b² − 4a c يحدد نوع الجذور. فإذا كان D > 0 فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان، وإذا كان D = 0 فلها جذر حقيقي مكرر، وإذا كان D < 0 فلها جذران مركّبان مترافقان ولا يقطع القطع المكافئ محور السينات أبدًا.
كيف أُدخل معادلة مثل 2x² = 8؟
انقل كل الحدود إلى طرف واحد أولًا لتصبح 2x² − 8 = 0. عندئذ a = 2 وb = 0 وc = −8، والجذران x = 2 وx = −2.
ما الجذور المركّبة؟
حين يكون المميِّز سالبًا يكون جذره التربيعي تخيليًا، فتأتي الجذور على الصورة p ± q i حيث i = √−1. ففي المعادلة x² + 2x + 5 = 0 يكون الجذران −1 + 2i و−1 − 2i.
ما رأس القطع المكافئ؟
هو نقطة الانعطاف في المنحنى y = a x² + b x + c، ويقع عند x = −b / 2a. ويكون قيمةً صغرى إذا كان a > 0 وقيمةً عظمى إذا كان a < 0، والمنحنى متماثل حول المستقيم الرأسي المار به.
قيّم حل المعادلة التربيعية
لا نعرض سوى متوسط التقييم. تصل بلاغات الأخطاء مباشرةً إلى بريدنا لنتحقق منها ونصححها. اطّلع على المنهجية و سياسة الخصوصية.